《初中數(shù)學(xué)》競賽輔導(dǎo)17
多邊形的面積和面積變換
本講在初二幾何范圍內(nèi)，通過實例對平面圖形的面積和用面積變換解幾何題作些簡單介紹.所用知識不多，簡列如下：
(1) 全等形的面積相等;
(2) 多邊形的面積定理(三角形、梯形等，略);
(3) 等底等高的三角形，平行四邊形，梯形的面積相等(對梯形底相等應(yīng)理解為兩底和相等);
(4) 等底(等高)的三角形，平行四邊形，梯形的面積比等于這底上的高(這高對應(yīng)的底)的比.
以下約定以△ABC同時表示△ABC的面積.
1. 多邊形的面積
例1 (第34屆美國中學(xué)數(shù)學(xué)競賽題)在圖23-1的平面圖形中，邊AF與CD平行，BC與ED平行，各邊長為1，且∠FAB=∠BCD= ，該圖形的面積是( )
(A) (B)1 (C) (D) (E)2
分析 將這個圖形分解為若干個基本圖形——三角形，連BF、BE、BD得四個與△ABF全等的正三角形，進一步計算可得圖形面積為 .所以選(D).
例2 (第5屆美國數(shù)學(xué)邀請賽試題)如圖23-2五條線段把矩形ABCD分成了面積相等的四部分，其中XY=YB+BC+CZ=ZW=WD+DA+AX，而PQ平行于AB.如果BC=19cm，PQ=87cm，則AB的長度等于_________.
分析 如圖,延長PQ交AD、CB于E、F.由YB+BC+CZ=WD+DA+AX知a+c=b+d,又梯形PQWZ與梯形PQYX面積相等,故E、F分別為AD、CB的中點.
而SAXPWD=SBYQZC，∴EP=QF，設(shè)為e.
由SAXPWD=SPQZW 得
∴2e=106，
∴AB=2e+87=193.
例3.如圖23-3四邊形ABCD的兩邊BA和CD相交于G，E、F各為BD、AC的中點.試證：△EFG的面積等于四邊形ABCD面積的四分之一.
分析 注意到E、F各為BD、AC的中點，連結(jié)EA、EC和FD.則
如果能夠證明△EFG的面積等于四邊形AEFD的面積，問題即可解決.為此，取AD的中點P，連PE、PF，則PE∥GB，PF∥GC.于是△GEP=△AEP，△GFP=△DFP.而△PEF公用.∴△GEF=SAEFD.至此，問題得解.證明略.
2. 利用面積變換解幾何題
先看一個例子.
例4.以直角三角形ABC的兩直角邊AC、BC為一邊各向外側(cè)作正方形ACDE、BCGH，連結(jié)BE、AH分別交AC、BC于P、Q.求證:CP=CQ.
證明 (如圖23-4)顯然S△GCQ=S△HCQ，
∵HB∥AG，
∴S△GCQ=S△ACH=S△ABC.
同理,S△BDP=S△ABC.
∴S△AGQ=S△BDP,
∴CQ·AG=CP·BD.
∵AG=AC+GC
=DC+BC=BD，
∴CP=CQ.
此例是關(guān)于平面圖形中線段的等式，看似與面積無關(guān)，然而我們卻利用圖形之間面積的等量關(guān)系達到了證明的目的.這種不考慮圖形的形狀只從圖形的面積關(guān)系入手來研究圖形的度量關(guān)系和位置關(guān)系的方法即所謂面積變換.
例5 (第37屆美國中學(xué)數(shù)學(xué)競賽題)圖23-5中,ABCDE是正五邊形,AP、AQ和AR是由A向CD、CB和DE的延長線上所引的垂線.設(shè)O是正五邊形的中心,若OP=1,則AO+AQ+AR等于( ).
(A)3 (B)1+ (C)4 (D)2+ (E)5
分析 因題設(shè)中AP、AQ、AR分別與CD、CB、DE垂直，這就便于利用面積作媒介.注意到
即 由CD=BC=DE，
則AP+AQ+AR=5·OP
故AO+AQ+AR=4.應(yīng)選(C).
例6 (第37屆美國中學(xué)數(shù)學(xué)競賽題)不等邊三角形ABC的兩條高的長度分別為4和12.若第三條高也為整數(shù)，那么它的長度最大可能是( ).
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
(E)不同于(A)-(D)的答案
解 設(shè)△ABC第三邊上的高為h，面積為S，則該三角形的三邊可表示為 顯見 > .據(jù)“三角形兩邊之和大于第三邊”有 + > ， + > .
解得3
例7 圖23-6中，已知AB是直角三角形ABC的斜邊，在射線AC、BC上各取一點 、 ，使 P、Q是△ABC內(nèi)兩點，如果P，Q到△ABC各邊的距離之和相等，則PQ∥ ;反之亦然.
證明 設(shè)P、Q到△ABC各邊的距離之和分別為S(P)，S(Q).連PA、PB、P 、P ，不難發(fā)現(xiàn)△APB+△AP +△ PB-△ P =△ABC-△ C(定值).
于是
= 同理， 顯然，當(dāng)S(P)=S(Q)時， ，
∴PQ∥ 反之，當(dāng)PQ∥ 時， ∴S(P)=S(Q).
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為深入貫徹黨的二十大精神，落實教育強國建設(shè)部署，構(gòu)建職普融通、產(chǎn)教融合的職教體系，弘揚勞動光榮、技能寶貴、創(chuàng)造偉大的時代風(fēng)尚，2026年5月，緊扣全國職教活動周“一技在手，一生無憂”主題與福建省“強鏈·興城·圓夢”分主題，福建建筑學(xué)校舉辦職業(yè)教育活動周系列特色活動。
閩北高級技工學(xué)校茲定于2026年7月份開展電工、焊工、數(shù)控車工職業(yè)技能等級評價工作，現(xiàn)將有關(guān)事項公告如下：
為做好校園營養(yǎng)健康宣傳，提高青少年對合理膳食的認識，增強師生科學(xué)飲食意識，5月14日，南平技師學(xué)院在2號樓階梯教室開展食品營養(yǎng)周知識講座。福建省營養(yǎng)協(xié)會會長、注冊營養(yǎng)師劉彥雯擔(dān)任主講人。
為搭建教學(xué)經(jīng)驗交流與成果展示平臺，集中呈現(xiàn)近年來我院教師在教學(xué)實踐、課程改革及技能培養(yǎng)等領(lǐng)域取得的研究成果，進一步激發(fā)全體教職工的教科研熱情，南平技師學(xué)院教研室組織開展了2023—2025年度教學(xué)論文評審匯編工作。歷時半年，現(xiàn)完成論文評審?fù)苾?yōu)，并已正式刊印成冊推廣交流。
5月18日，中國職工教育和職業(yè)培訓(xùn)協(xié)會會長（中央紀(jì)委駐人社部紀(jì)檢組原組長）耿文清、監(jiān)事長胡馳、副會長李京梅，衢州市技師學(xué)院黨委書記鄭曉珍一行蒞臨南平技師學(xué)院調(diào)研指導(dǎo)。南平市人民政府黨組成員、副市長楊新強，市人力資源和社會保障局黨組成員、副局長吳邦建，學(xué)院黨委書記葛毅，院長吳瑞通等領(lǐng)導(dǎo)陪同考察。
南平技師學(xué)院先進制造系的三位同學(xué)憑借扎實的專業(yè)基礎(chǔ)和過硬的技能水平，成功被天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)2026年本科專業(yè)錄取。
5月25日，福建省船舶工業(yè)集團有限公司人力部高級經(jīng)理黃孝燦一行來我院參觀交流，學(xué)院黨委書記葛毅、院長吳瑞通、副院長翁建星及相關(guān)處室負責(zé)人陪同參觀。
為深入推進平安校園建設(shè)，普及應(yīng)急救護知識，提升教職工面對突發(fā)事件的自救互救能力，5月27日，南平技師學(xué)院聯(lián)合延平區(qū)紅十字會成功舉辦了一場針對性強、實操性高的應(yīng)急救護技能培訓(xùn)與取證考核。學(xué)院各系部、行政及后勤安保等關(guān)鍵崗位的二十余位教職工積極參與了此次培訓(xùn)。
為切實把校園安全工作落到實處，全面提升寄宿生的應(yīng)急避險能力，3月12日晚，我校聚焦夜間住宿安全，組織開展了一場實戰(zhàn)化消防逃生演練。校領(lǐng)導(dǎo)、班主任、生管老師及保安人員全程跟進，與全體寄宿生共同完成了此次演練任務(wù)。
為進一步加強寄宿生管理工作，規(guī)范住宿行為，強化安全意識，提升校園后勤服務(wù)保障水平，3月12日晚，我校全體寄宿生大會隆重召開。校領(lǐng)導(dǎo)、班主任、生管老師及全體寄宿生齊聚一堂，共話成長，共筑安全。
福建省閩清職業(yè)中專學(xué)校創(chuàng)辦于1997年，前身為閩清縣渡口初級中學(xué)，1997年9月渡口初級中學(xué)與閩清白樟高級職業(yè)技術(shù)學(xué)校合并成為閩清職業(yè)中學(xué)，2001年5月，經(jīng)閩清縣政府批準(zhǔn)，閩清縣職業(yè)中學(xué)與原福建省閩清職業(yè)中專學(xué)校重組成立福建省閩清職業(yè)中專學(xué)校。2007年，被福建省人民政府認定為省級重點中等職業(yè)學(xué)校。2007年，閩清縣職業(yè)教育中心在學(xué)校掛牌，成為閩清縣職業(yè)教育中心主體辦學(xué)單位。2018年12月，閩清縣人民政府將學(xué)校委托福建船政交通職業(yè)學(xué)院管理， 2020年12月被福建省教育廳認定為“第四批省級規(guī)范化中等職
閩侯縣美術(shù)中等職業(yè)學(xué)校2026年秋季招生計劃
閩侯縣職業(yè)中專學(xué)校創(chuàng)辦于1978年，是福州市重點職業(yè)中專學(xué)校、福建省達標(biāo)中等職業(yè)學(xué)校及規(guī)范化職業(yè)中專學(xué)校。新校區(qū)坐落于閩侯縣荊溪鎮(zhèn)關(guān)口西山村129號，占地174畝，建筑面積66666.41平方米，現(xiàn)有教職員工197人。學(xué)�，F(xiàn)有71個教學(xué)班，在校生共計2720人。
自2016年起，我校持續(xù)與省內(nèi)優(yōu)質(zhì)高職院校開展“3+2”五年制聯(lián)合辦學(xué)，積極響應(yīng)國家職業(yè)教育提質(zhì)培優(yōu)、中高職一體化發(fā)展號召，推動中職與高職教育有效銜接，助力學(xué)生一站式完成學(xué)業(yè)、提升就業(yè)競爭力。
坐落在福州黃金地段交通路上的福建省福州文教職業(yè)中專學(xué)校，是一所市屬公辦的全日制學(xué)校、國家級重點職業(yè)中專學(xué)校。
學(xué)校創(chuàng)建于1985年，是一所享譽八閩的優(yōu)質(zhì)中職學(xué)校。福州市首批國家級重點校、國家級示范校、省級示范性現(xiàn)代中等職業(yè)院校。地處風(fēng)景秀麗的閩江南岸，緊鄰東部辦公區(qū)，校園占地面積103畝，建筑面積5萬多平方米，環(huán)境優(yōu)美，是中國建設(shè)教育協(xié)會常務(wù)理事單位，教育部首批全國中職學(xué)校教學(xué)診斷與改進工作試點學(xué)校。曾榮獲全國職業(yè)教育先進單位、全國教育系統(tǒng)先進集體、全國中等職業(yè)學(xué)校德育工作先進集體、福建省文明校園等榮譽。
選對專業(yè)，能圓大學(xué)夢、走穩(wěn)就業(yè)路。福州建筑工程職業(yè)中專學(xué)校2026年三年制中職招生計劃正式啟動，多個熱門專業(yè)面向全市招收應(yīng)屆初中畢業(yè)生。畢業(yè)后可通過高職分類考試升入本科或?qū)？圃盒�，也可選擇直接就業(yè)。
福州機電工程職業(yè)技術(shù)學(xué)校2026年招生計劃
福建省福州財政金融職業(yè)中專學(xué)校(福州第十三中學(xué))創(chuàng)辦于1954年，為福州市教育局直屬公辦校，系首批國家級重點中等職業(yè)學(xué)校。學(xué)校坐落于倉山區(qū)閩江南畔，毗鄰江南水都社區(qū)及倉山萬達、樂提港(原愛琴海)商圈，交通便捷。
福建財茂工業(yè)技術(shù)學(xué)校2026年招生計劃
福建省福清龍華職業(yè)中專學(xué)校是一所僑建公辦的國家級重點職業(yè)中專學(xué)校。近年來，學(xué)校以爭創(chuàng)"國家級中等職業(yè)教育改革示范學(xué)校"為目標(biāo)，堅持"以僑立校、以德治校、以質(zhì)興校"，緊緊圍繞地方經(jīng)濟特點，優(yōu)化專業(yè)結(jié)構(gòu)和校企合作辦學(xué)模式，創(chuàng)新德育工作，加強師資隊伍建設(shè)，抓好畢業(yè)生就業(yè)服務(wù)工作，初步形成了"辦學(xué)集團化，專業(yè)集群化，目標(biāo)崗位化，培養(yǎng)職場化"的發(fā)展模式。學(xué)�，F(xiàn)有在校生4000多人，2015年面向全省招生。
1. 長樂職業(yè)中專學(xué)校是公立的學(xué)校嗎?學(xué)校的辦學(xué)效益如何? 長樂職業(yè)中專學(xué)校是長樂區(qū)政府精心打造的全日制公辦職業(yè)中專學(xué)校，是國家中等職業(yè)教育改革發(fā)展示范學(xué)校、國家級重點中等職業(yè)學(xué)校、福建省示范性現(xiàn)代職業(yè)學(xué)校、福建省“雙高校”立項建設(shè)學(xué)校。近年來，學(xué)校全面貫徹黨的教育方針，落實立德樹人根本任務(wù)，堅持“質(zhì)量立校、人才強�！钡陌l(fā)展戰(zhàn)略，學(xué)校基礎(chǔ)能力、育人質(zhì)量、服務(wù)能力、示范作用、社會效應(yīng)顯著提升，實現(xiàn)了辦學(xué)、治校、育人的跨越式發(fā)展，在福建乃至全國產(chǎn)生了較大影響。
長樂四中2025年高一招生問答
新學(xué)期，新的校園環(huán)境 在一片新的氣象中 我校的招生計劃即將開始 為了讓您更好地了解我們的招生情況 我們將會為您詳細介紹本次的招生情況 我們期待你的加入
明溪縣職業(yè)中學(xué)2025年學(xué)校答疑
1.問：閩侯二中2025年高一招生計劃如何? 答：招收16個教學(xué)班。其中：1-15班每班54人，共招810人(含體育特長生12人);其中：正取生243人，定向生567人;另外招收1個美術(shù)特色班，人數(shù)30人，獨立成班。
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目前，福建已有8個地市公布了 2026年中招政策 今天為大家匯總一下今年政策新變化 快來看看吧↓↓
2026年泉州市初中畢業(yè)升學(xué)考試(以下簡稱“中考”)將于6月21日—23日舉行。全市初三報名中考考生總數(shù)12.35萬人，其中中心市區(qū)報考考生1.87萬人。泉州中考共設(shè)13個考區(qū)118個考點，具體考點詳見表格。
親愛的考生和家長朋友: 大家好! 盛夏逐夢，韶華啟航。2026年我省中考將于6月21日至23日舉行。為營造公平公正的考試環(huán)境，確�？荚嚢踩椒�(wěn)有序進行，特作如下提示：
剛剛，2026年福州市中考中招政策解讀新聞發(fā)布會召開，記者會上獲悉今年福州中考中招政策將有五個調(diào)整
近日，吉林、江蘇等地宣布，自2027年起，將地理、生物學(xué)科調(diào)整為考查科目，不再計入中考總分，福州是否會迎來類似改革？
隨著部分地區(qū)學(xué)齡人口變動與教育資源配置的調(diào)整，關(guān)于是否應(yīng)當(dāng)取消中考的討論持續(xù)升溫：
2026年福州市初中畢業(yè)升學(xué)體育與健康考試工作方案
2026年我省高職分類招考中職生職業(yè)技能測試、特殊群體類考生文化素質(zhì)考試將于3月中下旬舉行（具體安排附后）。為確保測試工作順利有序進行，現(xiàn)將有關(guān)事項提醒如下：
廈門市2026年中招體育考試工作方案
寧德市教育局關(guān)于做好2026年中考報名工作的通知
2026年福建中考進入倒計時，考生及家長普遍關(guān)注：全省各設(shè)區(qū)市中考分數(shù)線是否存在顯著差異？不同區(qū)域考生升學(xué)難度如何？本文基于2024-2025年官方數(shù)據(jù)及教育政策，梳理福建九地市普高錄取控制線差異，為備考家庭提供科學(xué)參考。
福建省中考錄取政策因地域教育資源、人口基數(shù)等因素呈現(xiàn)差異化特征。以莆田、福州兩地為例，2025年中考錄取分數(shù)線差異顯著，折射出教育資源配置與招生政策的深層邏輯。本文基于兩地最新數(shù)據(jù)，為2026屆考生及家長提供科學(xué)參考。
隨著福建省職業(yè)教育體系的不斷完善，五年制高職已成為銜接中等教育與高等教育的關(guān)鍵路徑。本文基于近三年政策數(shù)據(jù)，為2026屆考生及家長梳理錄取規(guī)則與趨勢，助力科學(xué)規(guī)劃升學(xué)路徑。
隨著福建省職業(yè)教育改革持續(xù)深化，中本貫通“3+4”模式憑借其“中職+本科”無縫銜接的優(yōu)勢，成為眾多學(xué)生及家長關(guān)注的升學(xué)路徑。2026年錄取分數(shù)線雖尚未公布，但結(jié)合2024-2025年政策趨勢與錄取數(shù)據(jù)，可梳理出關(guān)鍵預(yù)測方向與備考策略。
2024年泉州市普通高中最低錄取控制線為 482分。這一分數(shù)線是全市中考考生數(shù)前一定比例（通常為70%左右）的最低成績劃定的，作為考生報考普通高中的最低門檻。
廈門市的綜合高中班是在中職學(xué)校開設(shè)的普高課程班級，其錄取分數(shù)線通常低于普通高中，但高于部分民辦普高。根據(jù)2024年的錄取情況，廈門三所公辦中職學(xué)校的綜合高中班最低投檔分如下：
2024年廈門市中考定向生最低錄取分數(shù)需根據(jù)招生學(xué)校普通生最低投檔線確定，最多可降至該線下25分，但實際降幅因校而異。具體分數(shù)線如下：
2024年廈門市中考普高切線及普通高中最低投檔線情況如下：
福州五年制高職學(xué)校的最低錄取分數(shù)線通常根據(jù)福州市普高（含綜合高中班）最低投檔控制線下調(diào)一定分數(shù)劃定。例如，2024年福州五年制高職學(xué)校的最低錄取分數(shù)線為441.5分，這一分數(shù)線是根據(jù)福州市普高（含綜合高中班）最低投檔控制線501.5分下調(diào)60分劃定的。
福州市3+4中本貫通有哪些學(xué)校？錄取分數(shù)線多少？
閩公網(wǎng)安備35010202002010號